Question

已知三棱錐S—ABC中，側棱SA、SB、SC兩兩垂直，若將此三棱錐沿側棱展成平面圖形恰好可以形成一個邊長為的正方形．

   （1）求證：頂點在底面ABC的射影是底面的垂心；         

   （2）求二面角S-AB-C的大小．

Answer 1

（1）證明略（2）二面角S-AB-C的大小為

解析:

（1）作,連AO、BO，

因為側棱SA、SB、SC兩兩垂直，易證、、

．

所以，由三垂線定理的逆定理，AOBC，同理可證BOAC．

所以O為高線的交點，即為垂心． …………………6分

   （2）由于三棱錐的展開圖成邊長為正方形，則B、C分別和的中點，

即SB=SC=，所以SA=，AB=AC=，BC=．

在三棱錐S—ABC中，過S作SD垂直AB于D，連CD。因為，

根據三垂線定理，CDAB，所以即為二面角求二面角S-AB-C的平面角． 

在三角形SAB中，，SC=，SA=，AC=，所以SD=

所以,

即二面角S-AB-C的大小為． …………………12分