Question

下列說法，正確的是（　　）

• A．對于函數f（x）=

  1

  x

  ，因為f（-1）?f（1）＜0，所以函數 f（x）在區間（-1，1 ）內必有零點
• B．對于函數f（x）=x²-x，因為f（-1）f（2）＞0，所以函數 f（x）在區間（-1，2 ）內沒有零點
• C．對于函數f（x）=x³-3x²+3x-1，因為f（0）f（2）＜0，所以函數f（x）在區間（ 0，2 ）內必有零點
• D．對于函數f（x）=x³-3x²+2x，因為 f（-1）f（3）＜0，所以函數f（x）在區間（-1，3 ）內有唯一零點

Answer 1

分析：結合函數的圖象，利用根的存在性定理分別進行判斷．A．利用函數f（x）=

1

x

的單調性判斷．B．利用二次函數的圖象進行判斷．C．利用根的存在性定理判斷．D．解函數的零點，利用零點進行判斷．

解答：解：A．∵函數f（x）=

1

x

在（-1，0）和（0，1）上分別得到遞減，由圖象可知f（x）在區間（-1，1 ）內沒有零點，∴A錯誤．
B．由f（x）=0得x=0或x=1，∴函數 f（x）在區間（-1，2 ）內存在零點x=0或x=1，∴B錯誤．
C．∵為f（0）f（2）＜0，∴函數f（x）在區間（ 0，2 ）內必有零點，∴C正確．
D．由f（x）=x³-3x²+2x=0．得x（x²-3x+2）=0，解得x=0或x=1或x=2，∴函數f（x）在區間（-1，3 ）內有存在三個零點，∴D錯誤．
故選：C．

點評：本題主要考查函數零點個數的判斷，利用根的存在性定理是解決本題的關鍵．