Question

關(guān)于函數(shù)f(x)=

ex+e-x

2

(x∈R)，下列說(shuō)法不正確 的是（　　）

A．f（x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱

B．f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增

C．f（x）存在最小值

D．f（x）存在零點(diǎn)

Answer 1

分析：對(duì)于A：從函數(shù)的奇偶性方面考慮；對(duì)于B：先對(duì)函數(shù)f（x）求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)大于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞增，導(dǎo)函數(shù)小于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞減，求出單調(diào)區(qū)間，即可得到答案．對(duì)于C：利用基本不等式即可解決；對(duì)于D：根據(jù)指數(shù)函數(shù)的值域知f（x）＞0恒成立，從而進(jìn)行判斷．

解答：解：對(duì)于A：由于f（-x）=f（x），是偶函數(shù)，f（x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；故正確；
對(duì)于B：先對(duì)函數(shù)f（x）求導(dǎo)f′（x）=

ex-e-x

2

，在（0，+∞）上f′（x）＞0恒成立，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)大于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞增，故正確．
對(duì)于C：利用基本不等式f(x)=

ex+e-x

2

≥ 

e x×e-x

=1，最小值是1，故正確；
對(duì)于D：根據(jù)指數(shù)函數(shù)的值域知f（x）＞0恒成立，f（x）不存在零點(diǎn)．故錯(cuò)．
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)之間的關(guān)系，即當(dāng)導(dǎo)函數(shù)大于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞增，導(dǎo)函數(shù)小于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞減．