Question

【題目】已知圓O的方程為x2+y2=1，直線l1過點A（3，0），且與圓O相切．
（1）求直線l1的方程；
（2）設圓O與x軸相交于P，Q兩點，M是圓O上異于P，Q的任意一點，過點A且與x軸垂直的直線為l2 ， 直線PM交直線l2于點P′，直線QM交直線l2于點Q′．求證：以P′Q′為直徑的圓C總經過定點，并求出定點坐標．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意，可設直線l1的方程為y=k（x﹣3），

即kx﹣y﹣3k=0

又點O（0，0）到直線l1的距離為 ，解得 ，

所以直線l1的方程為 ，

即 或

（2）解：對于圓O的方程x2+y2=1，令x=±1，即P（﹣1，0），Q（1，0）．

又直線l2方程為x=3，設M（s，t），則直線PM方程為 ．

解方程組 ，得 ，

同理可得： ．

所以圓C的圓心C的坐標為 ，半徑長為 ，

又點M（s，t）在圓上，又s2+t2=1．故圓心C為 ，半徑長 ．

所以圓C的方程為 ，

即 =0

即 ，

又s2+t2=1

故圓C的方程為 ，

令y=0，則（x﹣3）2=8，

所以圓C經過定點，y=0，則x= ，

所以圓C經過定點且定點坐標為

【解析】（1）由已知中直線l1過點A（3，0），我們可以設出直線的點斜式方程，化為一般式方程后，代入點到直線距離公式，根據直線與圓相切，圓心到直線的距離等于半徑，可以求出k值，進而得到直線l1的方程；（2）由已知我們易求出P，Q兩個點的坐標，設出M點的坐標，我們可以得到點P′與Q′的坐標（含參數），進而得到以P′Q′為直徑的圓的方程，根據圓的方程即可判斷結論．