Question

已知點E、F的坐標分別是（-2，0）、（2，0），直線EP、FP相交于點P，且它們的斜率之積為．
（1）求證：點P的軌跡在一個橢圓C上，并寫出橢圓C的方程；
（2）設過原點O的直線AB交（1）中的橢圓C于點A、B，定點M的坐標為，試求△MAB面積的最大值，并求此時直線AB的斜率k_AB；
（3）反思（2）題的解答，當△MAB的面積取得最大值時，探索（2）題的結論中直線AB的斜率k_AB和OM所在直線的斜率k_OM之間的關系．由此推廣到點M位置的一般情況或橢圓的一般情況（使第（2）題的結論成為推廣后的一個特例），試提出一個猜想或設計一個問題，嘗試研究解決．
[說明：本小題將根據你所提出的猜想或問題的質量分層評分]．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知中點E，F的坐標分別是（-2，0）、（2，0），直線EP，FP相交于點P，且它們的斜率之積為 ．我們設出P（x，y），進而得到x，y之間的關系式，整理后即可知點P的軌跡方程．
（2）設直線AB的方程為y=kx，A（x₁，kx₁），則B（-x₁，-kx₁），聯立直線和橢圓的方程，我們可得 ，利用弦定公式，求出AB的長，利用點到直線公式，求出M點直線AB的距離求出AB邊的高，可以得到△MAB面積的表達式，進而求出△MAB面積m的取值范圍，得到△MAB面積m的，代入可求出對應的k值．
（3）設M（1，4），根據（2）的計算辦法，我們易求出，△MAB的面積取得最大值時，并求出此進k_OM及k_AB的值，驗證后，可得猜想不成立．
解答：解：（1）設P（x，y）為軌跡上的動點，由題意
即，∴點P的軌跡在橢圓上；------------4分
（2）設直線AB的方程為y=kx，A（x₁，kx₁），則B（-x₁，-kx₁）
聯立方程
整理可得
AB=2OA==
∵M（ ）到直線AB的距離d=
==m
則4（1-m²）k²-4k+1-m²=0
則4²-4•4（1-m²）•（1-m²）≥0
即（1-m²）²≤1
又由m≥0可得
0≤m≤
即三角形MAB的最大值為
代入4（1-m²）k²-4k+1-m²=0得
k=
（3）說明：本小題共（8分），建議根據學生提出的問題或猜想的質量劃分為三檔，其中：
（Ⅰ）此檔最高得分（4分），若學生提出諸如：
“設點M（1，b）（ab≠0）為橢圓內一點，過橢圓C中心的直線AB與橢圓分別交于A、B兩點，當且僅當k_OM=-k_AB時，△MAB的面積取得最大值．此推廣不充分，且為假命題的猜想，但能舉出反例否定之，則最高得（4分）；
若提出的猜想或問題質量不高，則無論能否自行解決，最高得（2分）．
（Ⅱ）此檔最高得分（6分），若學生的猜想或設計的問題能將點M的位置推廣到一般情況或者能將橢圓方程推廣到一般情況（即推廣了其中一個條件），則可得（4分）；
若能分析“k_OM=-k_AB”為假命題，并能進一步嘗試發現斜率k_AB和k_OM之間的關系（但無明確結論），則最高可得（5分）；
學生在自行解決推廣其中一個條件的問題中，若能發現k_AB和k_OM之間的規律（本質規律參考滿分一檔的解答）或完整解答自己提出的推廣問題，則可得（6分）．
（Ⅲ）最高得分（8分），若學生能提出較一般化的推廣，例如：
試問1：“設點M（m，n）（mn≠0）和橢圓（a＞0，b＞0），若過橢圓C中心的直線AB與橢圓分別交于A、B兩點，試驗證：當△MAB的面積取得最大值時，直線AB的泄率k_AB和OM所在直線的斜率k_OM滿足”（或其等價命題）則可得（6分）；
試問2：“設點M（m，n）（mn≠0）和橢圓（a＞0，b＞0），若過橢圓C中心的直線AB與橢圓分別交于A、B兩點，試求出當△MAB的面積取得最大值時，直線AB的泄率k_AB和OM所在直線的斜率k_OM滿足的關系式”則可得（5分）；
若能找到本質規律并給予證明，則得滿分（8分）．現給出設問1的一種證明：
證明：設M（m，n）（mn≠0），由橢圓的對稱性，可設A（acosθ，bsinθ），點A到直線OM的距離為d，由此OM所在直線方程為nx-my=0，∴，
其中，可得
要使d取得最大值，則必有sin（θ+φ）=±1，即∴此時必有，由題設，當d取得最大值時，∴此時，
可以驗證，在第（2）題條件下，是以上結論的一個特例．
點評：本題考查的知識點是直線與圓錐曲線的綜合問題，其中（1）的關鍵是分別求出兩條直線的斜率，進而得到P點橫、縱坐標的關系式，（2）的關鍵是得到△MAB面積的表達式，（3）中正面證明比較麻煩，可以舉出一反例，推反前面的猜想．