Question

已知點A，B的坐標分別是（0，-1），（0，1），直線AM，BM相交于點M，且它們的斜率之積為-

1

2

．
（1）求點M的軌跡C的方程；
（2）過D（2，0）的直線l與軌跡C有兩個不同的交點時，求l的斜率的取值范圍；
（3）若過D（2，0），且斜率為

14

6

的直線l與（1）中的軌跡C交于不同的E、F（E在D、F之間），求△ODE與△ODF的面積之比．

Answer 1

分析：（1）設點M的坐標為（x，y），由kAM•kBM=-

1

2

，知

y+1

x

•

y-1

x

=-

1

2

．由此能求出動點M的軌跡方程．
（2）設l的方程為y=k（x-2）（k≠±

1

2

），代入

x2

2

+y2=1，得（2k²+1）x²-8k²-x+（8k²-2）=0，由此能求出l的斜率的取值范圍．
（3）設E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），由

y= 14 6 (x-2) x2 2 +y2=1

，得8x²-14x+5=0，由此能求出△ODE與△ODF的面積之比．

解答：解：（1）設點M的坐標為（x，y），
∵kAM•kBM=-

1

2

，
∴

y+1

x

•

y-1

x

=-

1

2

．
整理，得

x2

2

+y2=1（x≠0），
這就是動點M的軌跡方程．（4分）
（2）由題意知直線l的斜率存在，
設l的方程為y=k（x-2）（k≠±

1

2

） ①
將①代入

x2

2

+y2=1，
得（2k²+1）x²-8k²-x+（8k²-2）=0（*）
由△＞0，解得k∈(-

2

2

，-

1

2

)∪(-

1

2

，

1

2

)∪(

1

2

，

2

2

)．（8分）
（3）設E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），
由

y= 14 6 (x-2) x2 2 +y2=1

，
消x得：8x²-14x+5=0，
∴x1=

1

2

，x2=

5

4

，
令

S△ODE

S△ODF

=

|DE|

|DF|

=λ

DE

=λ 

DF

，
∴λ=

x1-2

x2-2

=

1

2

λ=1：2 （13分）

點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關知識，解題時要注意合理地進行等價轉化．