Question

已知函數，h（x）=2alnx，.
（1）當a∈R時，討論函數的單調性；
（2）是否存在實數a，對任意的，且，都有
恒成立，若存在，求出a的取值范圍；若不存在，說明理由.

Answer 1

（1）詳見解析；（2）不存在.

試題分析：(1)討論函數的單調性，在定義域內研究其導函數的符號即可.先求導函數
，因為定義域為，故只需討論分子符號，可結合二次函數的圖象判斷，此時①需討論交點的大小，②注意根與定義域比較，所以需和-2和0比較大小；（2）由對稱性，不妨設，去分母得，構造函數，則其在定義域內單調遞減，故在恒成立，而，分子二次函數開口向上，不可能永遠小于0，故不存在.
試題解析：(1)，∴ , 的定義域為.
①當時，在上是減函數，在在上是增函數；
②當時，在上是增函數；在是是減函數；在上是增函數；
③當時，在上是增函數；
④當時，在上是增函數；在上是減函數；在上是增函數.
（2）假設存在實數，對任意的，且，都有恒成立，不妨設，要使，即.
令 ，只要在為減函數.
又，由題意在上恒成立，得不存在.