Question

【題目】在直角坐標系中，以原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，已知曲線C：ρsin2θ＝2acos θ(a>0)，過點P(－2，－4)的直線l： (t為參數)與曲線C相交于M，N兩點．

(1)求曲線C的直角坐標方程和直線l的普通方程；

(2)若|PM|，|MN|，|PN|成等比數列，求實數a的值．

Answer 1

【答案】（1）y2＝2ax(a>0)，x－y－2＝0.（2）a＝1.

【解析】試題分析：（1）根據將曲線C的極坐標方程化為直角坐標方程，根據加減消元得直線l的普通方程；（2）由等比數列條件得(t1－t2)2＝t1·t2，將直線參數方程代入圓方程，根據直線參數幾何意義以及韋達定理得方程，解方程得實數a的值．

試題解析：(1)把代入ρsin2θ＝2acos θ，得y2＝2ax(a>0)，

由 (t為參數)，消去t得x－y－2＝0，

∴曲線C的直角坐標方程和直線l的普通方程分別是

y2＝2ax(a>0)，x－y－2＝0.

(2)將 (t為參數)代入y2＝2ax，

整理得t2－2 (4＋a)t＋8(4＋a)＝0.

設t1，t2是該方程的兩根，

則t1＋t2＝2 (4＋a)，t1·t2＝8(4＋a)，

∵|MN|2＝|PM|·|PN|，

∴(t1－t2)2＝(t1＋t2)2－4t1·t2＝t1·t2，

∴8(4＋a)2－4×8(4＋a)＝8(4＋a)，

∴a＝1.