Question

（05北京卷）已知函數f(x)=－x³＋3x²＋9x＋a,

（I）求f(x)的單調遞減區間；

（II）若f(x)在區間[－2，2]上的最大值為20，求它在該區間上的最小值．

 

Answer 1

【答案】

（1）單調遞減區間為（－∞，－1），（3，＋∞）；（2）7.

【解析】

試題分析：分析：（I）：求，解不等式即可.

（II）：求出，進而求出最小值.

 解：（I） f ’(x)＝－3x²＋6x＋9．令f ‘(x)<0，解得x<－1或x>3，

 所以函數f(x)的單調遞減區間為（－∞，－1），（3，＋∞）．

（II）因為f(－2)＝8＋12－18＋a=2＋a，f(2)＝－8＋12＋18＋a＝22＋a，

所以f(2)>f(－2)．因為在（－1，3）上f ‘(x)>0，所以f(x)在[－1, 2]上單調遞增，又由于f(x)在[－2，－1]上單調遞減，因此f(2)和f(－1)分別是f(x)在區間[－2，2]上的最大值和最小值，于是有 22＋a＝20，解得 a＝－2．   

故f(x)=－x³＋3x²＋9x－2，因此f(－1)＝1＋3－9－2＝－7，

即函數f(x)在區間[－2，2]上的最小值為－7．

考點：本題主要考查多項式函數的導數公式及運用導數求單調區間和函數最值。

點評：應注意先比較f(2)f(－2)的大小，然后判定哪個是最大值而求解.