Question

學習三角函數一章時，課堂上老師給出這樣一個結論:當時，有恒成立，當老師把這個證明完成時，

(Ⅰ) 學生甲提出問題：能否在不等式的左邊增加一個量，使不等號的方向得以改變？

下面請同學們證明：若，則 成立。

(Ⅱ) 當學生甲的問題完成時，學生乙提問：對于不等式是否也有相似的結論？

下面請同學們探討：若，是否存在實數，使恒成立?如果存在,求出的一個值;如果不存在,請說明理由.

Answer 1

解: (Ⅰ)證明:設,則 ……………………………1

           設,則

           故當時,函數單調遞增,

且曲線在處連續不斷而,……………………………5

所以, 當時, .

故當時,函數單調遞增,

且曲線在處連續不斷而,

所以, 當時, .即原不等式得證. ……………………………9

       (Ⅱ)不存在.解析如下:

           設,

①     若,由結論可知, ;……………………………10

②     若,當趨近于時,接近于某一個常數,而趨近于,不可能

使恒成立.

綜上所述, 不存在實數使恒成立. ……………………………12