Question

學習三角函數一章時，課堂上老師給出這樣一個結論:當 時，有恒成立，當老師把這個證明完成時，

（Ⅰ） 學生甲提出問題：能否在不等式的左邊增加一個量，使不等號的方向得以改變？下面請同學們證明：若，則 成立；

（Ⅱ） 當學生甲的問題完成時，學生乙提問：對于不等式是否也有相似的結論？下面請同學們探討：若，是否存在實數，使恒成立?如果存在,求出的一個值;如果不存在,請說明理由。

Answer 1

解: （Ⅰ）證明:設,則 …………1

           設,則

           故當時,函數單調遞增,

且曲線在處連續不斷而,……………………5

所以, 當時, ．

故當時,函數單調遞增,

且曲線在處連續不斷而,

所以, 當時, ．即原不等式得證． ……………9

       （Ⅱ）不存在．解析如下:

           設,

①                                 若,由結論可知, ;…………………………10

②                                 若,當趨近于時,接近于某一個常數,而趨近于,不可能使恒成立．

綜上所述, 不存在實數使恒成立． ………………12