Question

（Ⅰ）已知數列｛c_n｝，其中c_n=2ⁿ＋3ⁿ，且數列｛c_n＋1－pc_n｝為等比數列，求常數p；

（Ⅱ）設｛a_n｝、｛b_n｝是公比不相等的兩個等比數列，c_n=a_n+b_n，證明數列｛c_n｝不是等比數列.

 

Answer 1

答案：
解析：

（Ⅰ）解：因為｛cn＋1－pcn｝是等比數列，故有 （cn＋1－pcn）2=（cn＋2－pcn＋1）（cn－pcn－1）， 將cn=2n＋3n代入上式，得 ［2n＋1＋3n＋1－p（2n＋3n）］2=［2n＋2＋3n＋2－p（2n＋1＋3n＋1）］·［2n＋3n－p（2n－1＋3n－1）］ 即［（2－p）2n＋（3－p）3n］2 =［（2－p）2n＋1＋（3－p）3n＋1］［（2－p）2n－1＋（3－p）3n－1］， 整理得（2－p）（3－p）·2n·3n=0，解得p=2或p=3. （Ⅱ）證明：設｛an｝、｛bn｝的公比分別為p、q，p≠q，cn=an+bn． 為證｛cn｝不是等比數列只需證c22≠c1·c3． 事實上，c22=（a1p＋b1q）2=a12p2＋b12q2＋2a1b1pq， c1·c3=（a1＋b1）（a1p2＋b1q2）=a12p2＋b12q2＋a1b1（p2＋q2） 由于p≠q，p2＋q2＞2pq，又a1、b1不為零， 因此c22≠c1·c3，故｛cn｝不是等比數列.