Question

△ABC中，已知角A，B，C所對的邊分別是a，b，c．
（Ⅰ）若△ABC的面積S△ABC=

3

2

， c=2， A=

π

3

，求a，b及角B；
（Ⅱ）若a=ccosB，且b=csinA，試判斷△ABC的形狀．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用三角形的面積公式求出b的值，然后由b，c及cosA的值，利用余弦定理即可求出a的值，從而可得B；
（2）利用余弦定理表示出cosB，代入已知的a=ccosB，化簡可得出a²+b²=c²，利用勾股定理的逆定理即可判斷出三角形為直角三角形，在直角三角形ABC中，利用銳角三角函數定義表示出sinA，代入b=csinA，化簡可得b=a，從而得到三角形ABC為等腰直角三角形．

解答：解：（Ⅰ）∵S△ABC=

1

2

bcsinA，
∴

1

2

b•2•

3

2

=

3

2

，
∴b=1，
∴a=

b2+c2-2bccosA

=

1+4-2•1•2• 1 2

=

3

，
∴c²=a²+b²
∴B=

π

6

；
（Ⅱ）∵a=ccosB，
∴由余弦定理得：a=c•

a2+c2-b2

2ac

，
∴a²+b²=c²，
∴∠C=90°；
在Rt△ABC中，sinA=

a

c

，
∵b=csinA，
∴b=c•

a

c

，
∴△ABC是等腰直角三角形．

點評：本題考查了三角形的面積公式，余弦定理，正弦定理，以及特殊角的三角函數值，考查了勾股定理的逆定理，銳角三角函數的定義，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．