Question

在△ABC中，已知角A、B、C的對邊分別為a、b、c．向量

m

=（cosB，cosC），

n

=（b，2a-c）且向量

m

與

n

共線．
（Ⅰ）求cosB的值；
（Ⅱ）若b=

3

，求△ABC的面積的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據平面向量平行滿足的條件得到一個關系式，根據正弦定理及兩角和的正弦函數公式化簡后，即可得到cosC的值．
（Ⅱ）直接利用余弦定理以及基本不等式求出ac的范圍，然后求出三角形的面積的最大值．

解答：解：（Ⅰ）向量

m

與

n

共線，得bcosC=（2a-c）cosB，
∴bcosC+ccosB=2acosB，
由正弦定理，得：sinBcosC+cosBsinC=2sinAcosB，
sin（B+C）=2sinAcosB，
又B+C=π-A，
∴sinA=2sinAcosB，sinA≠0，
cosB=

1

2

；
（Ⅱ）若b=

3

，

1

2

=cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

a2+c2-3

2ac

，
∴ac=a²+c²-3，
∴ac≤3，
∴△ABC的面積S=

1

2

acsinB=

3

4

ac≤

3 3

4

．
三角形面積的最大值為：

3 3

4

．

點評：此題考查學生靈活運用余弦定理及兩角和的正弦函數公式化簡求值，靈活運用誘導公式及特殊角的三角函數值化簡求值，掌握平面向量平行時滿足的條件，是一道中檔題．