Question

（2012•上饒一模）如圖是某直三棱柱被削去上底后的直觀圖與三視圖的左視圖、俯視圖，在直觀圖中，M是BD的中點，左視圖是直角梯形，俯視圖是等腰直角三角形，有關數據如圖所示．
（1）求證：EM∥平面ABC；
（2）求出該幾何體的體積；
（3）試問在平面ACDE上是否存在點N，使MN⊥平面BDE？若存在，確定點N的位置；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）取BC的中點G，利用三角形中位線的性質，可得AGME為平行四邊形，從而可得EM∥AG，利用線面平行的判定，可得EM∥平面ABC；
（2）證明AB⊥平面ACDE，可得幾何體B-ACDE的高h=AB=2，從而可求V_B-ACDE；
（3）利用MN⊥平面BDE，可得

MN • BE =0 MN • BD =0

，從而可求存在點N，使MN⊥平面BDE．

解答：（1）證明：取BC的中點G，連EM，MG，AG
∵M為DB中點，∴MG∥DC且MG=

1

2

DC
∴MG平行且等于AE，∴AGME為平行四邊形，∴EM∥AG
又EM?平面ABC，AG?平面ABC，∴EM∥平面ABC    …（4分）
（2）解：∵EA⊥平面ABC，∴EA⊥AB，
又AB⊥AC，AC∩EA=A，∴AB⊥平面ACDE
∴幾何體B-ACDE的高h=AB=2，又S_梯形ACDE=6
∴V_B-ACDE=

1

3

Sh=4    …（8分）
（3）解：如圖建立空間坐標系A-xyz，則B（2，0，0），C（0，2，0），E（0，0，2），D（0，2，4），M（1，1，2），設 N（0，y，z），

MN

=(-1，y-1，z-2)，

BE

=(-2，0，2)，

BD

=(-2，2，4)…（9分）
∵MN⊥平面BDE，∴

MN • BE =0 MN • BD =0

，∴

2+2(z-2)=0 2+2(y-1)+4(z-2)=0

，∴

y=2 z=1

…（11分）
∴在平面ACDE上是存在點N（0，2，1），使MN⊥平面BDE                     …（12分）

點評：本題考查線面平行，考查幾何體的體積計算，考查線面垂直，考查空間向量的運用，掌握線面平行的判定，正確運用空間向量是解題的關鍵．