Question

【題目】已知函數(aR)，其中e為自然對數的底數．

（1）若，求函數的單調減區間；

（2）若函數的定義域為R，且，求a的取值范圍；

（3）證明：對任意，曲線上有且僅有三個不同的點，在這三點處的切線經過坐標原點．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）見解析.

【解析】

（1）當時，，定義域為R.求出，令，即得的單調減區間；

（2）由函數的定義域為R，得恒成立，故，得.分三種情況討論，即得a的取值范圍；

（3）設切點為，求出，寫出切線方程.把點代入，化簡得.令，求出，判斷的單調性，結合零點存在定理，即可證明.

（1）當時，，定義域為R..

．

令，得，

函數的單調減區間為．

（2）由函數的定義域為R，得恒成立，

．

由，得．

當時，，不符合題意．

當時，當時，，在上單調遞減，，不符題意．

當時，當時，，在上單調遞減，，滿足題意．

綜上，a的取值范圍為．

（3）證明：設切點為，則，

切線方程為．

由，化簡得．

設，則只需證明函數有且僅有三個不同的零點．

由(2)可知時，函數的定義域為R，．

恒成立，

有兩不相等的實數根x1和x2，不妨．

可得下表：

x	(－∞,x1)	x1	(x1,x2)	x2	(x2,＋∞)
h’(x)	＋	0	－	0	＋
h(x)	增	極大值	減	極小值	增

所以函數h(x)最多有三個零點．

，，

．

函數的圖象不間斷，函數在上分別至少有一個零點．

綜上所述，函數h(x)有且僅有三個零點，即對任意，曲線上有且僅有三個不同的點，在這三點處的切線經過坐標原點．