Question

如圖，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=

2

，AF=1，M是線段EF的中點．
（1）求證AM∥平面BDE；
（2）求二面角A-DF-B的大小；
（3）試在線段AC上一點P，使得PF與CD所成的角是60°．

Answer 1

分析：（I）以C為坐標原點，建立空間直角坐標系，求出各點的坐標，進而求出直線AM的方向向量及平面BDE的法向量，易得這兩個向量垂直，即AM∥平面BDE；
（2）求出平面ADF與平面BDF的法向量，利用向量夾角公式求出夾角，即可得到二面角A-DF-B的大小；
（3）點P為線段AC的中點時，直線PF與CD所成的角為60°，我們設出點P的坐標，并由此求出直線PF與CD的方向向量，再根據PF與CD所成的角是60°構造方程組，解方程即可得到結論．

解答：證明：（Ⅰ）建立如圖所示的空間直角坐標系
設AC∩BD=N，連接NE，
則點N、E的坐標分別是（

2

2

，

2

2

，0)、（0，0，1），
∴

NE

=（-

2

2

，-

2

2

，1)，
又點A、M的坐標分別是
（

2

，

2

，0）、（

2

2

，

2

2

，1)
∴

AM

=（-

2

2

，-

2

2

，1)
∴

NE

=

AM

且NE與AM不共線，
∴NE∥AM
又∵NE?平面BDE，AM?平面BDE，
∴AM∥平面BDF
解：（Ⅱ）∵AF⊥AB，AB⊥AD，AF∩AD=A，
∴AB⊥平面ADF
∴

AB

=(-

2

，0，0)為平面DAF的法向量
∵

NE

•

DB

=(-

2

2

，-

2

2

，1)•(-

2

，

2

，0)=0，
∴

NE

•

NF

=(-

2

2

，-

2

2

，1)•(

2

，

2

，0)=0得

NE

⊥

DB

，

NE

⊥

NF

∴NE為平面BDF的法向量
∴cos＜

AB，

NE

＞=

1

2

∴

AB，

NE

的夾角是60°
即所求二面角A-DF-B的大小是60°
（3）設P（x，x），

PF

=(

2

-x，

2

-x，1)，

CD

=(

2

，0，0)，則
cos

π

3

=|

2 -( 2 -x)

2 - 2( 2 -x)2+1

|，解得x=

2

2

或x=

3 2

2

（舍去）
所以當點P為線段AC的中點時，直線PF與CD所成的角為60°．（12分）

點評：本題考查的知識點是向量語言表述線線的垂直、平行關系，用空間向量求直線音質夾角、距離，用空間向量求平面間的夾角，其中建立空間坐標系，求出各頂點的坐標，進而求出相關直線的方向向量和平面的法向量是解答本題的關鍵．