Question

橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率e=

1

2

，右焦點F（c，0），方程ax²+bx-c=0的兩個根分別為x₁，x₂，則點P（x₁，x₂）與圓x²+y²=2的位置關系是

 

．

Answer 1

分析：由題設知x1+x2=-

b

a

，x1x2=-

c

a

，x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=

b2

a2

+

2c

a

=

b2+a2

a2

=

2a2-c2

a2

=2-e2．由此可知點P（x₁，x₂）與圓x²+y²=2的位置關系．

解答：解：∵離心率e=

1

2

，∴a=2c．
∵方程ax²+bx-c=0的兩個根分別為x₁，x₂，
∴x1+x2=-

b

a

，x1x2=-

c

a

，
∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂
=

b2

a2

+

2c

a

=

b2+2ac

a2

=

b2+a2

a2

=

2a2-c2

a2

=2-e2＜2．
∴點P（x₁，x₂）在圓x²+y²=2內．
故答案為：點在圓內．

點評：本題考查圓錐曲線的性質和應用，解題時要要認真審題，仔細解答．