Question

過拋物線焦點F的直線交拋物線于A、B兩點，通過點B平行于拋物線對稱軸的直線交拋物線的準線于點D，求證：三點A、O、D共線．

Answer 1

分析：建系寫方程，寫出點A、B、D的坐標，可利用斜率相等，或用向量法證明三點共線．

解答：解：以拋物線的對稱軸為x軸，它的頂點為原點，建立直角坐標系，
則可設拋物線的方程為y²=2px（p＞0），
當直線AB的斜率存在時，設AB的斜率為k（k≠0），
由題意直線AB的方程為y=k(x-

p

2

)，
把y=k(x-

p

2

)代入拋物線的方程得y2-

2p

k

y-p2=0，
設點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y2=-

p2

y1

(y1≠0)，D(-

p

2

，-

p2

y1

)，
故可得k_OA=

y1

x1

=

y1

y12 2p

=

2p

y1

，而k_OD=

- p2 y1

- p 2

=

2p

y1

=k_OA，故三點A、O、D共線，
當直線無斜率時，A（

p

2

，p），B（

p

2

，-p），故D(-

p

2

，-p)，
同樣可得k_OA=

p

p 2

=2，而k_OD=

-p

- p 2

=2=k_OA，仍有三點A、O、D共線，
綜上可得三點A、O、D共線．

點評：本題考查三點共線的證明，涉及分類討論的思想，屬基礎題．