Question

已知頂點在原點、對稱軸為坐標軸且開口向右的拋物線過點M（4，-4）．
（1）求拋物線的方程；
（2）過拋物線焦點F的直線l與拋物線交于不同的兩點A、B，若|AB|=8，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）設出拋物線方程，代入點的坐標，即可求拋物線的方程；
（2）分類討論，設出直線方程代入拋物線方程，求出弦長，利用|AB|=8，即可求直線l的方程．

解答：解：（1）由已知可令所求拋物線的方程為y²=2px（p＞0），而點M（4，-4）在拋物線上，則16=8p，所以p=2，故所求拋物線方程為y²=4x；
（2）由（1）知F（1，0）．
若直線l垂直于x軸，則A（1，2），B（1，-2），此時|AB|=4，與題設不符；
若直線l與x軸不垂直，可令直線l的方程為y=k（x-1），再設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

y=k(x-1) y2=4x

，消去y可得k²x²-2（k²+2）+k²=0，于是x1+x2=

2(k2+2)

k2

，x₁x₂=1，
則|AB|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2

=

4(1+k2)

k2

=8，解得k=±1，
從而，所求直線l的方程為y=±（x-1）．

點評：本題考查拋物線方程，考查直線與拋物線的位置關系，考查學生的計算能力，屬于中檔題．