Question

（2007•天津一模）已知函數f（x）=

2

3

x3-2ax2-3x（a∈R）．
（1）當|a|≤

1

4

時，求證f（x）在（-1，1）內是減函數；
（2）若函數y=f（x）在區間（-1，1）內有且只有一個極值點，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）首先對于函數求導，得到導函數是一個二次函數，根據二次函數的性質對于導函數的符號進行驗證，得到結果．
（2）設出極值點，根據函數在所給的區間上只有一個極值點，對于函數的導函數的符號進行討論，得到結果．

解答：解：（1）f'（x）=2x²-4ax-3，對稱軸x=a∈[-

1

4

，

1

4

]?(-1，1)
f′(x)min=f′(a)=-2a2-3＜0，f′(1)=-2a-

7

2

＜0，f′(-1)=2a-

7

2

＜0
f′（x）_max=maxf′（1），f′（-1）＜0，
∴f（x）在（-1，1）上是減函數．
（2）∵f（x）在（-1，1）內只有一個極值點，
∴f'（x）=0有兩個實根x₁，x₂且x₁∈（-1，1），x₂∉（-1，1）．
若x₁∈（-1，1），x₂∈（-∞，-1）∪（1，+∞），f'（-1）•f'（1）＜0
∴a＞

1

4

或a＜-

1

4

．
經檢驗x₂=-1或x₂=1時x₁∉（-1，1）．
∴a＞

1

4

或a＜-

1

4

．

點評：本題考查函數的極值和單調性的應用，屬于中檔題．