Question

【題目】已知函數.

（1）討論的單調性；

（2）若，在上恒成立，求整數的最大值.

Answer 1

【答案】(1) ，當時，在上為增函數；當時，在上為增函數，在上為減函數.

(2) 整數的最大值為.

【解析】分析：（1）先求導數，再解不等式，根據a的大小討論單獨區間，（2）先參變分離，轉化研究函數最小值，利用導數可得單調性以及最小值取值范圍，最后確定整數的最大值.

詳解：（1），

當時，，則在上為增函數，

當時，由，得，則在上為增函數；

由，得，則在上為減函數.

綜上，當時，在上為增函數；

當時，在上為增函數，在上為減函數.

（2）由題意，恒成立，即，

設，則，

令.則，

所以，在上為增函數，

由，，，

故在上有唯一實數根，

使得，

則當時，；當時，,

即在上為減函數，上為增函數，

所以在處取得極小值，為，

∴，由，得整數的最大值為.