Question

學校科技小組在計算機上模擬航天器變軌返回試驗．設計方案如圖：航天器運行（按順時針方向）的軌跡方程為

x2

100

+

y2

25

=1，變軌（即航天器運行軌跡由橢圓變為拋物線）后返回的軌跡是以y軸為對稱軸、M(0，

64

7

)為頂點的拋物線的實線部分，降落點為D（8，0）．觀測點A（4，0）、B（6，0）同時跟蹤航天器．
（1）求航天器變軌后的運行軌跡所在的曲線方程；
（2）試問：當航天器在x軸上方時，觀測點A、B測得離航天器的距離分別為多少時，應向航天器發出變軌指令？

Answer 1

分析：（1）由題意變軌之后軌跡為開口向上的拋物線，所以利用待定系數法可以先設出方程，再利用條件建立未知數的方程進而求解；
（2）由題意及圖形可知變軌點C實質為兩圓錐曲線的交點，故聯立兩方程即可求解．

解答：解：（1）設曲線方程為y=ax2+

64

7

，
由題意可知，0=a•64+

64

7

．
∴?a=-

1

7

．
∴曲線方程為y=-

1

7

x2+

64

7

．
（2）設變軌點為C（x，y），根據題意可知

x2 100 + y2 25 =1 (1) y=- 1 7 x2+ 64 7 (2)

得4y²-7y-36=0，y=4或y=-

9

4

（不合題意，舍去）．
∴?y=4．
得x=6或x=-6（不合題意，舍去）．
∴?C點的坐標為（6，4），|AC|=2

5

，?|BC|=4．
答：當觀測點A、B測得AC、BC距離分別為2

5

、?4時，應向航天器發出變軌指令．

點評：（1）此問重點考查了拋物線的定義及其標準方程，還考查了求解方程當知道方程的類別利用待定系數法求解方程的思想；
（2）此問重點考查了兩方程的交點求解的方法應該把兩個方程進行聯立求解的方法．