Question

選修4-1：幾何證明選講
已知圓O直徑AB=4，將線段AB延長到點P，使BP=1．作直線PT切圓O于點T．
（1）求線段PT的長；
（2）求線段AT的長．

Answer 1

分析：（1）由切割線定理，結合題中數據加以計算，即可得到線段PT的長；
（2）連接TB，得∠ATB=90°，得到AT²+BT²=AB²=16…①．由切線的性質證出△TPB∽△APT，計算出AT=

5

TB…②，兩式聯(lián)解即可算出線段AT的長．

解答：解：（1）由切割線定理，可得PT²=PB•PA，
∵BP=1，直徑AB=4，可得AP=5
∴PT²=PB•PA=5，可得PT=

5

（舍負）．…（5分）
（2）連接TB，由AB是圓的直徑，可得∠ATB=90°，
∴AT²+BT²=AB²=16…①，
∵直線PT切圓O于點T，∴∠PTB=∠PAT，
∵∠TPB=∠APT，∴△TPB∽△APT，可得

AT

TB

=

PT

PB

=

5

，
解得AT=

5

TB…②，
聯(lián)解①②，可得AT=

2 30

3

．…（10分）

點評：本題給出圓的一條切線和一條直徑，求證線段的長度．著重考查了圓的切線的性質、三角形相似的判定與性質等知識，屬于中檔題．