Question

A、選修4-1：幾何證明選講 
如圖，PA與⊙O相切于點A，D為PA的中點，
過點D引割線交⊙O于B，C兩點，求證：∠DPB=∠DCP．
B．選修4-2：矩陣與變換
已知矩陣M=

12 2x

的一個特征值為3，求另一個特征值及其對應的一個特征向量．
C．選修4-4：坐標系與參數方程
在極坐標系中，圓C的方程為ρ=2

2

sin(θ+

π

4

)，以極點為坐標原點，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標系，直線l的參數方程為

x=t y=1+2t

（t為參數），判斷直線l和圓C的位置關系．
D．選修4-5：不等式選講
求函數y=

1-x

+

4+2x

的最大值．

Answer 1

分析：A 由切割線定理得到 DP²=DA²=DB•DC，即

PD

DC

=

DB

PD

．  因為∠BDP=∠PDC，可得△BDP∽△PDC，從而，∠DPB=∠DCP．
B 寫出矩陣M的特征多項式 f（λ），由λ₁=3方程f（λ）=0的一根，令x=1 得特征值 λ₂=-1，求出它對應的特征向量．
C把參數方程和極坐標方程化為直角坐標方程，求出圓心到直線的距離小于半徑，故直線l和⊙C相交．
D y=

1-x

+

4+2x

=（

1-x

，

2+x

）•（1，

2

），由|

a

•

b

|≤|

a

| • |

b

| 求得函數的最大值．

解答：解：A．因為PA與圓相切于A，所以，DA²=DB•DC，因為D為PA中點，所以，DP=DA，
所以，DP²=DB•DC，即

PD

DC

=

DB

PD

．  因為∠BDP=∠PDC，所以，△BDP∽△PDC，
所以，∠DPB=∠DCP．
B．矩陣M的特征多項式為f(λ)=

.

λ-1 ，-2 -2 ，λ-x

.

=（λ-1）（λ-x）-4
因為λ₁=3方程f（λ）=0的一根，所以x=1，
由（λ-1）（λ-1）-4=0得λ₂=-1，
設λ₂=-1對應的一個特征向量為α=

x y

，
則

-2x-2y=0 -2x-2y=0

得 x=-y，令x=1，則y=-1，
所以矩陣M的另一個特征值為-1，對應的一個特征向量為α=

1 -1

C．消去參數t，得直線l的直角坐標方程為y=2x+1；ρ=2

2

(sinθ+

π

4

)即ρ=2（sinθ+cosθ），
兩邊同乘以ρ得ρ²=2（ρsinθ+ρcosθ），得⊙C的直角坐標方程為：（x-1）²+（x-1）²=2，
圓心C到直線l的距離d=

|2-1+1|

22+12

=

2 5

5

＜

2

，所以，直線l和⊙C相交．
D．因為y=

1-x

+

4+2x

=（

1-x

，

2+x

）•（1，

2

），由|

a

•

b

|≤|

a

| • |

b

| 求得
∴y的最大值為3，
當且僅當兩個向量共線時，即

1

1-x

=

2

2+x

時取“=”號，即當x=0時，y_max=3．

點評：本題考查簡單曲線的極坐標方程，把極坐標方程化為直角坐標方程的方法，直線和圓的位置關系的判定，矩陣的特征值與特征向量的定義．體現了數形結合及轉化的數學思想．