Question

已知f（x）=a^2x-

1

2

a^x（a＞0，且a≠1）
（1）求f（x）的值域；
（2）解不等式f（x）＞

1

2

．

Answer 1

（1）令a^x=t（t＞0），
則f（x）=a^2x-

1

2

a^x=g（t）=t2-

1

2

t（t＞0）．
由g（t）=t2-

1

2

t=(t-

1

4

)2-

1

16

≥-

1

16

．
∴函數f（x）的值域為：[-

1

16

，+∞)；
（2）由f（x）＞

1

2

，得a2x-

1

2

ax＞

1

2

．
即2（a^x）²-a^x-1＞0，解得：ax＜-

1

2

（舍）或a^x＞1．
由a^x＞1．
若a＞1，解得：x＞0；
若0＜a＜1，解得：x＜0．
∴a＞1時，不等式f（x）＞

1

2

的解集為（0，+∞）；
0＜a＜1時，不等式f（x）＞

1

2

的解集為（-∞，0）．