Question

如圖，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，|AB|=2，|AC|=

3

2

，一曲線E過點C，且曲線E上任一點到A，B兩點的距離之和不變．
（1）建立適當的坐標系，求曲線E的方程；
（2）設點Q是曲線E上的一動點，求線段QA中點的軌跡方程；
（3）設M，N是曲線E上不同的兩點，直線CM和CN的傾斜角互補，試判斷直線MN的斜率是否為定值．如果是，求這個定值；如果不是，請說明理由．
（4）若點D是曲線E上的任一定點（除曲線E與直線AB的交點），M，N是曲線E上不同的兩點，直線DM和DN的傾斜角互補，直線MN的斜率是否為定值呢？如果是，請你指出這個定值．（本小題不必寫出解答過程）

Answer 1

分析：（1）由于曲線E上任一點到A，B兩點的距離之和不變，所以其軌跡是橢圓，求方程先建立坐標系，從而可求；
（2）先假設線段QA中點的坐標P，利用中點坐標公式得出P，Q坐標之間的關系，再結合（1）求出線段QA中點的軌跡方程；
（3）由于直線CM和CN的傾斜角互補，所以可設直線CM和CN的斜率分別為k，-k，再結合M，N是曲線E上不同的兩點，可知直線MN的斜率是定值；
（4）利用極限位置考慮：當直線DM和DN的傾斜角都為90°時，直線MN即為D'（a，-b）處的切線．

解答：解：（1）以AB的中點為原點，AB所在直線為x軸建立直角坐標系．
∵|CA|+|CB|=4[（1分）]
不難知道：曲線E是以A，B為兩焦點、長軸長為4的橢圓．
故曲線E的方程為

x2

4

+

y2

3

=1，
（2）設線段QA的中點為P（x，y），∵A（-1，0），
∴Q（2x+1，2y）[（5分）]
∵點Q在曲線E上，故可得：

(2x+1)2

4

+

(2y)2

3

=1[（7分）]
即線段QA中點的軌跡方程為(x+

1

2

)2+

4y2

3

=1[（8分）]
（3）設直線CM和CN的斜率分別為k，-k
直線CM的直線方程為y-

3

2

=k(x+1)
代入曲線E的方程，得(3+4k2)x2+8k(k+

3

2

)x+4k2+12k-3=0[（9分）]
由韋達定理：xC•xM=

4k2+12k-3

3+4k2

，
∴xM=-

4k2+12k-3

3+4k2

同理xN=-

4k2-12k-3

3+4k2

[（10分）]
而yM-

3

2

=k(xM+1)，yN-

3

2

=-k(xN+1)
∴kMN=

yM-yN

xM-xN

=

k(xM+xN+2)

xM-xN

=

12k 3+4k2

24k 3+4k2

=

1

2

故直線MN的斜率為定值

1

2

[（12分）]
（4）設D（a，b），當直線DM和DN的傾斜角都為90°時，直線MN即為D'（a，-b）處的切線，則直線MN的斜率為定值

3a

4b

點評：本題主要考查曲線軌跡方程的求解，涉及定義法、代入法等，同時解決了定值問題．