Question

8．如圖，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AB=2，AC=

2

2

．DO⊥AB于O點，OA=OB，DO=2，曲線E過C點，動點P在E上運動，且保持|PA|+|PB|的值不變．
（1）建立適當的坐標系，求曲線E的方程；
（2）過D點的直線L與曲線E相交于不同的兩點M、N且M在D、N之間，設

DM

DN

=λ，試確定實數λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）建立平面直角坐標系，如圖所示∵|PA|+|PB|=|CA|+|CB|=

2

2

+

22+( 2? 2 )2

=2

2

，可得動點P的軌跡是橢圓，由此易得橢圓的方程；

（2）設直線L的方程為y=kx+2，代入曲線E的方程x²+2y²=2，得（2k²+1）x²+8kx+6=0設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則

△=(8k)2-4(2k+1)×6＞0 x1+x2=- 8k 2k2+1 x1x2= 6 2k2+1

，再由過D點的直線L可能是Y軸也可能斜率存在分為兩類，由

DM

DN

=λ對實數λ的取值范圍進行討論即可得到所求的答案

解答：解：（1）建立平面直角坐標系，如圖所示∵|PA|+|PB|=|CA|+|CB|=

2

2

+

22+( 2? 2 )2

=2

2

∴動點P的軌跡是橢圓
∴a=

2

，b=1，c=1
∴曲線E的方程是 

x2

2

+y2=1．
（2）設直線L的方程為y=kx+2，代入曲線E的方程x²+2y²=2，得（2k²+1）x²+8kx+6=0
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則

△=(8k)2-4(2k2+1)×6＞0 x1+x2=- 8k 2k2+1 x1x2= 6 2k2+1

i）  L與y軸重合時，

DM

DN

=λ=

1

3

ii）  L與y軸不重合時，由①得  k2＞

3

2

 
 又∵λ=

DM

DN

=

xD-xM

xD-xN

=

x1

x2

，
∵x₂＜x₁x₁＞0
∴0＜λ＜1，
∴

(x1+x2)2

x1x2

=

x1

x2

+

x2

x1

+2=λ+

1

λ

+2
∵

(x1+x2)2

x1x2

=

64k2

6(2k2+1)

=

32

3(2+ 1 k2 )

而k2＞

3

2

∴6＜3(2+

1

k2

)＜8
∴4＜

32

3(2+ 1 k2 )

＜

16

3

∴4＜λ+

1

λ

+2＜

16

3

，即2＜λ+

1

λ

＜

10

3

，
由

0＜λ＜1 2＜λ+ 1 λ ＜ 10 3

解得λ的取值范圍是[

1

3

，1）．

點評：本題考查直線與圓錐曲線的綜合題，考查了根與系數的關系橢圓的性質等，解題的關鍵是認真審題準確轉化題設中的關系，本題綜合性強，符號計算運算量大，解題時要認真嚴謹避免馬虎出錯．