Question

已知a∈R，函數(shù)f(x)=

a

x

+lnx-1．
（1）當(dāng)a=1時，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程；
（2）求f（x）在區(qū)間（0，e]上的最小值．

Answer 1

分析：（1）把a(bǔ)=1代入到f（x）中化簡得到f（x）的解析式，求出f'（x），因?yàn)榍�線的切點(diǎn)為（2，f（2）），所以把x=2代入到f'（x）中求出切線的斜率，把x=2代入到f（x）中求出f（2）的值得到切點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)切點(diǎn)和斜率寫出切線方程即可；
（2）借助于導(dǎo)數(shù)，將函數(shù)f(x)=

a

x

+lnx-1的最值問題轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)進(jìn)行研究．此題只須求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求解．

解答：解：（1）當(dāng)a=1時，f(x)=

1

x

+lnx-1，x∈（0，+∞），
所以f′(x)=-

1

x2

+

1

x

=

x-1

x2

，x∈（0，+∞）．…（2分）
因此f′(2)=

1

4

．
即曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線斜率為

1

4

．…（4分）
又f(2)=ln2-

1

2

，
所以曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程為y-(ln2-

1

2

)=

1

4

(x-2)，
即x-4y+4ln2-4=0．…（6分）
（2）因?yàn)?span id="skqguk0" class="MathJye">f(x)=

a

x

+lnx-1，所以f′(x)=-

a

x2

+

1

x

=

x-a

x2

．
令f'（x）=0，得x=a． …（8分）
①若a≤0，則f'（x）＞0，f（x）在區(qū)間（0，e]上單調(diào)遞增，此時函數(shù)f（x）無最小值．
②若0＜a＜e，當(dāng)x∈（0，a）時，f'（x）＜0，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，a）上單調(diào)遞減，
當(dāng)x∈（a，e]時，f'（x）＞0，函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，e]上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)x=a時，函數(shù)f（x）取得最小值lna．…（10分）
③若a≥e，則當(dāng)x∈（0，e]時，f'（x）≤0，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，e]上單調(diào)遞減，
所以當(dāng)x=e時，函數(shù)f（x）取得最小值

a

e

．…（12分）
綜上可知，當(dāng)a≤0時，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，e]上無最小值；
當(dāng)0＜a＜e時，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，e]上的最小值為lna；
當(dāng)a≥e時，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，e]上的最小值為

a

e

．…（13分）

點(diǎn)評：考查學(xué)生會利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過某點(diǎn)切線方程的斜率，會利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的極值．靈活運(yùn)用分類討論的數(shù)學(xué)思想解決數(shù)學(xué)問題．本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，導(dǎo)數(shù)的引入，為研究函數(shù)的極值與最值帶來了方便．