Question

關于平面向量

a

，

b

，

c

，有下列三個命題：
①若

a

•

b

=

a

•

c

，則

b

=

c

、
②若

a

=（1，k），

b

=（-2，6），

a

∥

b

，則k=-3．
③非零向量

a

和

b

滿足|

a

|=|

b

|=|

a

-

b

|，則

a

與

a

+

b

的夾角為60°．
其中真命題的序號為

 

．（寫出所有真命題的序號）

Answer 1

分析：①向量不滿足約分運算，但滿足分配律，由此我們利用向量的運算性質，可判斷平面向量

a

，

b

，

c

的關系；
②中，由

a

∥

b

，我們根據兩個向量平行，坐標交叉相乘差為0的原則，可以構造一個關于k的方程，解方程即可求出k值；
③中，若|

a

|=|

b

|=|

a

-

b

|，我們利用向量加減法的平行四邊形法則，可以畫出滿足條件圖象，利用圖象易得到兩個向量的夾角；

解答：解：①若

a

•

b

=

a

•

c

，則

a

•（

b

-

c

）=0，此時

a

⊥（

b

-

c

），而不一定

b

=

c

，①為假．
②由兩向量

a

∥

b

的充要條件，知1×6-k•（-2）=0，解得k=-3，②為真．
③如圖，在△ABC中，設

AB

=a，

AC

=b，

CB

=a-b，
由|

a

|=|

b

|=|

a

-

b

|，可知△ABC為等邊三角形．
由平行四邊形法則作出向量

a

+

b

=

AD

，
此時

a

與

a

+

b

成的角為30°．③為假．
綜上，只有②是真命題．
答案：②

點評：本題考查的知識點是向量的運算性質及命題的真假判斷與應用，處理的關鍵是熟練掌握向量的運算性質，如兩個向量垂直，則數量積為0，兩個向量平等，坐標交叉相乘差為0等．