Question

關于平面向量

a

，

b

，

c

．有下列三個命題：
①若

a

•

b

=

a

•

c

，則

b

=

c

；
②若

a

=(1，k)，

b

=(-2，6)，

a

∥

b

，則k=-3；
③非零向量

a

和

b

滿足|

a

|=|

b

|=|

a

-

b

|，則

a

與

a

+

b

的夾角為30°．
其中真命題的序號為

②③

．（寫出所有真命題的序號）

Answer 1

分析：正確命題給出證明和計算，錯誤的命題舉出反例即可判斷出真命題，具體分析如下：
對于命題①可取

b

⊥

a

且

b

≠

.

0

，

c

=

0

仍滿足

a

•

b

=

a

•

c

但

b

≠

c

．
對于命題②根據兩向量平行的坐標計算可求出k值然后判斷即可．
對于命題③根據條件求出|

a

+

b

|以及

a

•（

a

+

b

）（用|

a

|表示）然后再根據向量的夾角公式即可求出

a

與

a

+

b

的夾角．

解答：解：對于命題①：可取

b

⊥

a

且

b

≠

.

0

，

c

=

0

，仍滿足

a

•

b

=

a

•

c

但

b

≠

c

．故①錯
對于命題②：
∵

a

=(1，k)，

b

=(-2，6)，

a

∥

b

∴1×6-k×（-2）=0
∴k=-3
故②對
對于命題③：
∵|

a

|=|

b

|=|

a

-

b

|
∴|

b

|2=|

a

-

b

|2
∴

a

•

b

=

1

2

|

a

|2
又∵|

a

+

b

|=

( a + b )2

=

a 2+ b 2+2 a • b

=

3

|

a

|
∴cos＜

a

，

a

+

b

＞=

a •( a + b )

| a || a + b |

=

3

2

∵＜

a

，

a

+

b

＞∈[0，π]
∴＜

a

，

a

+

b

＞30°
故③對
故答案為②③

點評：本題主要考察了利用向量數量積的定義解決向量的夾角問題，屬常考題型，較難．解題的關鍵熟記向量數量積的定義

a

•

b

=|

a

||

b

|cos＜

a

，

b

＞!