Question

在一次考試中共有8道選擇題，每道選擇題都有4個選項，其中有且只有一個選項是正確的．評分標準規定：“每題只選一個選項，選對得5分，不選或選錯得0分”．某考生已確定有4道題答案是正確的，其余題中：有兩道只能分別判斷2個選項是錯誤的，有一道僅能判斷1個選項是錯誤的，還有一道因不理解題意只好亂猜，求：
（1）該考生得40分的概率；
（2）該考生得多少分的可能性最大？
（3）該考生所得分數的數學期望．

Answer 1

分析：（1）根據題意，該考生8道題全答對即另四道題也全答對，根據相互獨立事件概率的乘法公式，計算可得答案．
（2）該考生選擇題得分的可能取值有：20，25，30，35，40共五種．設選對一道“可判斷2個選項是錯誤的”題目為事件A，“可判斷1個選項是錯誤的”該題選對為事件B，“不能理解題意的”該題選對為事件C．得分為20，表示只做對有把握的那4道題，其余各題都做錯；得分為25時，表示做對有把握的那4道題和另外四題中的一題（其中做對另外四題中的一題分為：A

.

A

.

B

.

C

，

.

A

.

A

 B

.

C

，

.

A

.

A

.

B

C）；得分為30時，表示做對有把握的那4道題和另外四題中的二題（其中做對另外四題中的二題分為：AA

.

B

.

C

，

.

A

A

.

B

C，）；得分為35時，表示做對有把握的那4道題和另外四題中的三題；得分為40時，表示8題全部做對，做出概率．
（3））由題意知變量的可能取值分別是20，25，30，35，40，根據第二問做出的結果，寫出離散型隨機變量的分布列，根據期望的定義，即可求出期望

解答：解：（1）設選對一道“可判斷2個選項是錯誤的”題目為事件A，“可判斷1個選項是錯誤的”該題選對為事件B，“不能理解題意的”該題選對為事件C．則P（A）=

1

2

，P（B）=

1

3

，P（C）=

1

4

所以得（40分）的概率P=(P(A))2•P(B)•P(C)=(

1

2

)2×

1

3

×

1

4

=

1

48

（2）該考生得（20分）的概率P=[P(

.

A

)]2P(

.

B

) P(

.

C

) =

1

4

×

2

3

×

3

4

=

6

48

該考生得（25分）的概率：P=C21P(A)P(

.

A

) P(

.

B

)P( 

.

C

) +[P(

.

A

)]2P(B)P(

.

C

) +[P(

.

A

)]2P(

.

B

)P(C)=2×(

1

2

)2×

2

3

×

3

4

+

1

4

×

1

3

×

3

4

+

1

4

×

2

3

×

1

4

=

17

48

該考生得（30分）的概率：
P=[P(A)]2 P(

.

B

)P(

.

C

) +C21[P(

.

A

)] P(A) P(

.

B

)P( C) +C21P(

.

A

) P(A) P(B)P(

.

C

) +[P(

.

A

)]2 P(B)P(C)=(

1

2

)2×

2

3

×

3

4

+2×

1

2

×

1

2

×

2

3

×

1

4

+2×

1

2

×

1

3

×

1

2

×

3

4

+(

1

2

)2×

1

3

×

1

4

=

17

48

該考生得（35分）的概率：
P=C21P(A)P(

.

A

) P(B)P( C) +[P(A)]2P(B)P(

.

C

) +[P(A)]2P(

.

B

)P(C)
=2× 

1

2

× 

1

2

×

1

3

×

1

4

 +(

1

2

)2×

1

3

×

3

4

+(

1

2

)2×

2

3

×

1

4

=

7

48

∵

17

48

＞

7

48

 ＞

6

48

＞

1

48

∴該考生得（25分）或（30分）的可能性最大
（3）該考生所得分數的數學期望Eξ=20×

6

48

+25×

17

48

+30×

7

48

+35×

7

48

+ 40×

1

48

=

3356

12

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和期望，考查相互獨立事件同時發生的概率，考查互斥事件的概率，考查學生利用所學的知識解決實際問題的能力，是一個綜合題目