Question

（本小題滿分13分）

        已知某幾何體的三視圖如圖所示，其中分別是該幾何體的一個頂點P在三個投影面上的投影，分別是另四個頂點A，B，C，D的投影。

   （I）從①②兩個圖中選擇出該幾何體的直觀圖；

   （II）求直線PA與平面PBC所成角的正弦值；

   （III）設平面PAD與平面ABC的交線為，求二面角A——B的大小。

Answer 1

解:(Ⅰ)圖①為該幾何體的直觀圖; ………3分

(Ⅱ)依題意,平面PBC⊥平面ABC,

平面PBC∩平面ABC=BC,取BC中點O,連接PO,

則PO⊥BC,PO⊥平面ABCD.取AD中點M,

則OM⊥BC.如圖建立空間直角坐標系O-xyz.

P(0,0,2),A(2,1,0),,

又平面PBC的一個法向量為,

∴直線PA與平面PBC所成角的正弦值為.………9分

(Ⅲ)法1:∵D(2,－1,0),,

設為平面PAD的一個法向量,則,取

∴二面角A-l-B的大小為45°. ………13分

法2:平面PBC∩平面PAD=l,BC//ADBC//平面PADBC//l,OP⊥l,MP⊥l

∠MPO就是二面角A-l-B的平面角,.

∴二面角A-l-B的大小為45°. ………13分