Question

【題目】已知橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，離心率為 ， 且經過點M（4，1），直線l：y=x+m交橢圓于不同的兩點A，B．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）求m的取值范圍；

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）設橢圓的方程為，
∵橢圓的離心率為e=，
∴a2=4b2 ，
又∵M（4，1），
∴，解得b2=5，a2=20，故橢圓方程為．
（Ⅱ）將y=x+m代入并整理得
5x2+8mx+4m2﹣20=0，
∵直線l：y=x+m交橢圓于不同的兩點A，B
∴△=（8m）2﹣20（4m2﹣20）＞0，解得﹣5＜m＜5
【解析】（I）設出橢圓的標準方程，根據橢圓的離心率為 ， 得出a2=4b2 ， 再根據M（4，1）在橢圓上，解方程組得b2=5，a2=20，從而得出橢圓的方程；
（II）因為直線l：y=x+m交橢圓于不同的兩點A，B，可將直線方程與橢圓方程消去y得到關于x的方程，有兩個不相等的實數根，從而△＞0，解得﹣5＜m＜5；