Question

如圖，已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

2

=1(a＞

2

)的左右焦點分別為F₁、F₂，點B為橢圓與y軸的正半軸的交點，點P在第一象限內且在橢圓上，且PF₂與x軸垂直，

F1P

•

OP

=5．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設點B關于直線l：y=-x+n的對稱點E（異于點B）在橢圓C上，求n的值．

Answer 1

分析：（1）根據橢圓的方程和PF₂與x軸垂直表示出F₁和P的坐標，利用F₁和P的坐標及原點O的坐標分別表示

F1P

和

OP

，然后利用平面向量的數量積的運算法則表示出

F1P

•

OP

，讓其值等于5，列出關于a的方程，求出方程的解即可得到a的值，代入橢圓方程即可；
（2）根據橢圓方程求出B的坐標，設E和B關于直線l對稱，則直線BE的斜率與直線l的斜率乘積為-1，根據直線l的斜率求出直線BE的斜率，根據B的坐標和求出的斜率寫出直線BE的方程，把直線BE的方程與橢圓方程聯立即可求出直線BE與橢圓的另一交點E的坐標，根據B和E的坐標，利用中點坐標公式求出BE中點的坐標，把中點坐標代入直線l的方程，即可求出n的值．

解答：解：（1）根據橢圓方程得到F₁（-

a2-2

，0），P（

a2-2

，m），
把P的坐標代入橢圓方程得：m²=

4

a2

，
則

F1P

•

OP

=2

a2-2

•

a2-2

+m²=2（a²-2）+

4

a2

=5，解得a²=4，
所以橢圓C方程為：

x2

4

+

y2

2

=1，
（2）由（1）求出的橢圓方程得：B（0，

2

）
BE⊥l，得BE方程的斜率為1，則直線BE的方程為y=x+

2

，
由

y=x+ 2 x2 4 + y2 2 =1

得x=0，或x=-

4 2

3

．
E(-

4 2

3

，-

2

3

)，∴BE中點為(-

2 2

3

，

2

3

)，
把BE的中點坐標代入y=-x+n得：

2

3

=

2 2

3

+n，解得：n=-

2

3

．

點評：此題考查學生掌握橢圓的簡單性質，會求橢圓的標準方程，厲害運用平面向量的數量積的運算法則及中點坐標公式化簡求值，是一道綜合題．