Question

已知三點A（0，a），B（b，0），C（c，0），b+c≠0，a≠0，矩形EFGH的頂點E、H分別在△ABC的邊AB、AC上，F、G都在邊BC上，不管矩形EFGH如何變化，它的對角線EG、HF的交點P恒在一條定直線l上，那么直線l的方程是

 

．

Answer 1

分析：因為不管矩形EFGH如何變化，它的對角線EG、HF的交點P恒在一條定直線l上，故取兩種特殊情況分別求出相應的P點坐標即可求出直線l的方程，方法是：E和H分別為|AB|和|AC|的中點或三等份點，分別求出E、F、G、H四點的坐標，然后利用相似得到相應的P點、P′點坐標，根據P和P′的坐標寫出直線方程即為定直線l的方程．

解答：解：①當E、H分別為|AB|和|AC|的中點時，
得到E（

b

2

，

a

2

），F（

b

2

，0），H（

c

2

，

a

2

），G（

c

2

，0）
則|PQ|=

a

4

，|FQ|=

1

2

|EH|=

1

4

|BC|=

1

4

（c-b），
而|FO|=-

b

2

，所以|OQ|=|FQ|-|OF|=

1

4

（c-b）+

b

2

=

c+b

4

，所以P（

c+b

4

，

a

4

）；
②當E、H分別為|AB|和|AC|的三等份點時，
得到E（

b

3

，

2a

3

），F（

b

3

，0），H（

c

3

，

2a

3

），G（

c

3

，0）
則|PQ|=

a

3

，|FQ|=

1

2

|EH|=

1

6

|BC|=

1

6

（c-b），而|FO|=-

b

3

，
所以|OQ|=|FQ|-|OF|=

1

6

（c-b）+

b

3

=

c+b

6

，所以P′（

c+b

6

，

a

3

）．
則直線PP′的方程為：y-

a

4

=

a 3 - a 4

c+b 6 - c+b 4

（x-

c+b

4

），化簡得y=

a

2

-

a

b+c

x
故答案為：y=

a

2

-

a

b+c

x

點評：此題考查學生靈活運用三角形相似得比例解決數學問題，會根據兩點坐標寫出直線的一般式方程，是一道中檔題．