Question

如圖，P是邊長為1的正六邊形ABCDEF所在平面外一點，P在平面ABC內的射影為BF的中點O且PO=1，
（Ⅰ）證明PA⊥BF；
（Ⅱ）求面APB與面DPB所成二面角的大小．

Answer 1

分析：（1）立體幾何中證明直線與直線垂直，通常可用三垂線定理：因為P在平面ABC內的射影為O，所以PO⊥平面ABF，所以AO為PA在平面ABF內的射影；又因為O為BF中點，所以AO⊥BF，則PA⊥BF．
（2）解法一：
二面角的度量關鍵在于作出它的平面角，常用的方法就是三垂線定理．由PO⊥平面ABF可得：AD⊥平面PBF，過O在平面POB內作OH⊥PB于H，連AH、DH，則AH⊥PB，DH⊥PB，所以∠AHD為所求二面角平面角．
解法二：
以O為坐標原點，建立空間直角坐標系，P（0，0，1），A（0，-

1

2

，0），B（

3

2

，0，0），D（0，2，0），這種解法的好處就是：（1）解題過程中較少用到空間幾何中判定線線、面面、線面相對位置的有關定理，因為這些可以用向量方法來解決．（2）即使立體感稍差一些的學生也可以順利解出，因為只需畫個草圖以建立坐標系和觀察有關點的位置即可．
設平面PAB的法向量為

n1

=(x1，y1，1)，則

n1

⊥

PA

，

n1

⊥

PB

，設平面PDB的法向量為

n2

=(x2，y2，1)，則

n2

⊥

PD

，

n2

⊥

PB

，所以所求二面角的大小即為這兩個法向量的夾角的大小．

解答：解：（Ⅰ）在正六邊形ABCDEF中，△ABF為等腰三角形，
∵P在平面ABC內的射影為O，
∴PO⊥平面ABF，
∴AO為PA在平面ABF內的射影；
∵O為BF中點，∴AO⊥BF，
∴PA⊥BF．
（Ⅱ）解法一：
∵PO⊥平面ABF，
∴平面PBF⊥平面ABC；而O為BF中點，ABCDEF是正六邊形，
∴A、O、D共線，且直線AD⊥BF，則AD⊥平面PBF；
又∵正六邊形ABCDEF的邊長為1，
∴AO=

1

2

，DO=

3

2

，BO=

3

2

．
過O在平面POB內作OH⊥PB于H，連AH、DH，則AH⊥PB，DH⊥PB，
所以∠AHD為所求二面角平面角．
在△AHO中，OH=

21

7

，tan∠AHO=

AO

OH

=

1 2

21 7

=

7

2 21

．
在△DHO中，tan∠DHO=

DO

OH

=

3 2

21 7

=

21

2

；
而tan∠AHD=tan(∠AHO+∠DHO)=

7 2 21 + 21 2

1- 7 2 21 × 21 2

=-

4×28

3 21

=

16 21

9

（Ⅱ）解法二：
以O為坐標原點，建立空間直角坐標系，P（0，0，1），A（0，-

1

2

，0），B（

3

2

，0，0），D（0，2，0），
∴

PA

=(0，-

1

2

，-1)，

PB

=(

3

2

，0，-1)，

PD

=(0，2，-1)
設平面PAB的法向量為

n1

=(x1，y1，1)，則

n1

⊥

PA

，

n1

⊥

PB

，
得

- 1 2 y1-1=0 3 2 x1-1=0

，

n1

=(

2 3

3

，-2，1)；
設平面PDB的法向量為

n2

=(x2，y2，1)，則

n2

⊥

PD

，

n2

⊥

PB

，
得

2y2-1=0 3 2 x2-1=0

，

n2

=(

2 3

3

，

1

2

，1)；
cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 |•| n2 |

=

8 589

589

點評：本小題主要考查棱錐的結構特征，二面角和線面關系等基本知識，同時考查空間想象能力和推理、運算能力．