Question

（本題滿分14分）如圖，在三棱錐中，
，，
設頂點在底面上的射影為．
（Ⅰ）求證:；
（Ⅱ）設點在棱上，且，
試求二面角的余弦值

Answer 1

證明：（I）方法一：由平面得，
又，則平面，
故，…………………………………………3分
同理可得，則為矩形，又，
則為正方形，故．…………………6分
方法二：由已知可得，設為的中點，則
，則平面，故平面平面，則頂點在
底面上的射影必在，故．
（II）方法一:由（I）的證明過程知平面，過作，垂足為，
則易證得，故即為二面角的平面角，……………………………9分
由已知可得，則，故，則，
又，則，………………………………………………………………故，即二面角的余弦值為．………………………14
分

方法二: 由（I）的證明過程知為正方形，如圖建立坐
標系，則，
可得，則，易知平面
的一個法向量為，設平面的一個法向量為
，則由得，
則，即二面角的余弦值為．

略