Question

（2011•奉賢區(qū)二模）（理）設(shè)函數(shù)f(x)=ax+

4

x

(x＞0)，a∈R+．
（1）當(dāng)a=2時(shí)，用函數(shù)單調(diào)性定義求f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間
（2）若連續(xù)擲兩次骰子（骰子六個(gè)面上分別標(biāo)以數(shù)字1，2，3，4，5，6）得到的點(diǎn)數(shù)分別作為a和b，求f（x）＞b²恒成立的概率．

Answer 1

分析：（1）利用函數(shù)單調(diào)性定義求單調(diào)區(qū)間，可先判斷其單調(diào)性，再用定義證明，證明時(shí)需經(jīng)過設(shè)、差、變、判、結(jié)五步解決；
（2）先由f（x）＞b²恒成立，可知f（x）的最小值大于b²，可得a、b間的不等關(guān)系，再利用古典概型公式，用列舉法得目標(biāo)事件在基本事件總數(shù)中的比例即可

解答：解：（1）f(x)=2x+

4

x

根據(jù)耐克函數(shù)的性質(zhì)，f(x)=2x+

4

x

的單調(diào)遞減區(qū)間是(0，

2

]，證明如下：
設(shè)任意0＜x1＜x2≤

2

，
則f(x1)-f(x2)=2x1+

4

x1

-2x2-

4

x2

=2(x1-x2)+

4(x2-x1)

x1x2

=2(x1-x2)(1-

2

x1x2

)
∵0＜x1＜x2≤

2

∴x1-x2＜0，0＜x1x2＜2，1-

2

x1x2

＜0
∴f（x₁）-f（x₂）＞0
所以f(x)=2x+

4

x

的單調(diào)遞減區(qū)間是(0，

2

]
（2）∵f(x)min≥4

a

∴16a＞b⁴     
基本事件總數(shù)為6×6=36，
當(dāng)a=1時(shí)，b=1；
當(dāng)a=2，3，4，5時(shí)，b=1，2，共2×4=8種情況；
當(dāng)a=6時(shí)，b=1，2，3；
目標(biāo)事件個(gè)數(shù)為1+8+3=12．因此所求概率為

1

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了函數(shù)單調(diào)性的定義及證明方法，函數(shù)、不等式與概率的綜合，解題時(shí)要認(rèn)真體會(huì)函數(shù)問題是怎樣與計(jì)數(shù)概率聯(lián)系起來的