Question

（2011•奉賢區二模）用2π平方米的材料制成一個有蓋的圓錐形容器，如果在制作過程中材料無損耗，且材料的厚度忽略不計，底面半徑長為x，圓錐母線的長為y
（1）建立y與x的函數關系式，并寫出x的取值范圍；
（2）圓錐的母線與底面所成的角大小為

π

3

，求所制作的圓錐形容器容積多少立方米（精確到0.01m³）

Answer 1

分析：（1）由題意可知，制作該容器需要鐵皮面積，就是圓錐的全面積，得到方程πx²+πxy=2π，分離出y即可，利用x＜y求出定義域．
（2）利用母線與底面所成的角大小為

π

3

求出母線長，進一步求出圓錐的高，利用圓錐的體積公式求出所制作的圓錐形容器容積．

解答：解：（1）∵πx²+πxy=2π
∴y=

2-x2

x

（4分）
∵x＜y∴x＜

2-x2

x

，
∴0＜x＜1（6分）
（2）依題意，作圓錐的高SO，∠SAO是母線與底面所成的線面角，（7分）
設圓錐高h，∵cos

π

3

=

x

y

=

1

2

，y=2x
∴h=

3

x
∴x=

2 3

，h=

2

（9分）
V=

1

3

πx2h=

3

3

πx3≈0.99m³（11分）
答：所制作的圓錐形容器容積0.99立方米                             （12分）

點評：本題考查旋轉體的側面積、全面積、體積，是一道中檔題．