Question

一個圓錐的側面展開圖是半徑為2，圓心角為（180

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）°的扇形，用經過圓錐頂點的平面截圓錐，當截面面積最大時，求：
（1）最大截面面積．
（2）截面與底面所成銳二面角的大小．

Answer 1

分析：（1）設過圓錐頂點的截面為VAB，過底面圓心O作OD⊥AB于D，并設OD=x（0≤x＜

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），求出截面面積的表達式，利用二次函數知識求出最大截面面積．
（2）由（1）得，OD⊥AB，VD⊥AB，所以，∠VDO就是二面角V-AB-O的平面角，在Rt△VDO中求出截面與底面所成銳二面角的大小．

解答：解：（1）由已知得，圓錐底面半徑r=

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，h=1，如圖，
設過圓錐頂點的截面為VAB，過底面圓心O作OD⊥AB于D，
并設OD=x（0≤x＜

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），
則VD=

1+x2

，DA=

3-x2

，所以截面VAB的面積
S=

(1+x2)(3-x2)

=

-(x2-1)2+4

，故當x=1時，S最大為2（5分）
（2）由（1）得，OD⊥AB，VD⊥AB，所以，∠VDO就是二面角V-AB-O的平面角，
即截面與底面所成銳二面角的平面角，由（1）知在Rt△VDO中，VO=OD=1，
所以∠VDO=45°．

點評：本題是中檔題，通過轉化求出截面面積表達式，利用函數的最值思想，求出最值是本題的難點；考查計算能力，轉化思想，常考題型．