Question

觀察以下各等式：
sin230°+cos260°+sin30°cos60°=

3

4

，
sin220°+cos250°+sin20°cos50°=

3

4

，
sin245°+cos2105°-sin45°cos105°=

3

4

．
分析上述各式的共同特點，請寫出一個能反映一般規律的等式

sin2α+cos2β+sinαcosβ=

3

4

，其中β=α+30°

．

Answer 1

分析：觀察所給的等式，等號左邊是sin²30°+cos²60°+sin30°cos60°=

3

4

…規律應該是sin²α+cos²（30°+α）+sinαcos（30°+α），右邊的式子：

3

4

，寫出結果．

解答：觀察以下各等式：
sin230°+cos260°+sin30°cos60°=

3

4

，
sin220°+cos250°+sin20°cos50°=

3

4

，
sin245°+cos2105°-sin45°cos105°=

3

4

．
分析上述各式的共同特點，左邊是二項的正弦和余弦的平方和加上正弦與余弦的積，其中一個角等于另一個加上30°，右邊都是

3

4

．
從而寫出一個能反映一般規律的等式 sin2α+cos2β+sinαcosβ=

3

4

，其中β=α+30°，
故答案為：sin2α+cos2β+sinαcosβ=

3

4

，其中β=α+30°．

點評：本題考查歸納推理，考查觀察、分析、歸納的能力，從所給式子出發，通過觀察、類比、猜想出一般規律，不需要證明結論，該題著重考查了類比的能力．