Question

如圖，已知O為△ABC內一點，D、E、F分別為邊 BC、CA及AB中點．

（1）求證：++=0是O為△ABC的重心的充要條件．

（2）求證：△ABC與△DEF重心重合．??

Answer 1

??證明：（1）若++=0，則+=-.

??以OB、OC為鄰邊作OBPC，則+=，且OP平分BC.

??∴-=，即與反向.即A、O、P共線.

??∴O在BC邊中線上.

??同理，O在AC、AB邊中線上，

??∴O為△ABC重心.

??反之，若O是△ABC的重心.設D為BC邊上中點，則｜｜=2｜｜，??∴||=-2||.又延長OD到P，使｜｜=｜｜，則OBPC為平行四邊形.

??∴+==2=-.

??即++=0.綜上所述，命題成立.

??（2）若O是△ABC的重心，則=-，=-，=-12

??∴++=-（++）.

??由（1）知，++=0.從而O為△DEF的重心.