Question

如圖，已知O為△ABC的外心，a，b，c分別是角A、B、C的對邊，且滿足

CO

•

AB

=

BO

•

CA

．
（1）推導出三邊a，b，c之間的關系式；
（2）求

tanA

tanB

+

tanA

tanC

的值．

Answer 1

分析：（1）取AB、AC的中點E、F，則根據三角形法則可得：

CO

•

AB

=

1

2

(

CB

+

CA

)•(

CB

-

CA

)=

1

2

(a2-b2)，同理

BO

•

CA

=

1

2

(c2-a2)；進而得到答案．
（2）由題意可得：

tanA

tanB

+

tanA

tanC

=(

cosB

sinB

+

cosC

sinC

)•

sinA

cosA

，再結合兩角和與差的正余弦公式、正弦定理、余弦定理進行化簡即可求出答案．

解答：解：（1）取AB、AC的中點E、F，
則

CO

•

AB

=(

CE

+

EO

)•

AB

=

CE

•

AB

=

1

2

(

CB

+

CA

)•(

CB

-

CA

)=

1

2

(a2-b2)…(4分)
同理

BO

•

CA

=

1

2

(c2-a2)；
所以2a²=b²+c²…（8分）
（2）由題意可得：

tanA

tanB

+

tanA

tanC

=(

cosB

sinB

+

cosC

sinC

)•

sinA

cosA

=

sin(B+C)•sinA

sinB•sinC•cosA

=

a2

bc• b2+c2-a2 2bc

=2…(12分)

點評：解決此類問題的關鍵是熟練掌握向量的三角形法則，以及解三角形的正弦定理與余弦定理等有關三角形的常用知識點．