Question

【題目】如圖，在四棱錐中，，，，，為上的動點.

（Ⅰ）當為的中點時，在棱上是否存在點，使得？說明理由；

（Ⅱ）的面積最小時，求三棱錐的體積．

Answer 1

【答案】(Ⅰ)見解析.

(Ⅱ) .

【解析】

（Ⅰ）當N為PB中點時，MN∥平面PDA．

取PB的中點N，連接MN，由M，N分別為PC，PB中點，可得MN∥BC，又BC∥AD，得MN∥AD，再由直線與平面平行的判定對立即可證明MN∥平面PDA；

（Ⅱ）由PD⊥平面ABCD，DB平面ABCD，知PD⊥BD，又BD⊥CD，CD∩PD=D，得BD⊥平面PCD，又MD平面PDC，可得BD⊥MD，進一步得到△DBM為直角三角形，當MD⊥PC時△BDM的面積最小，然后利用等積法即可求出三棱錐M﹣BCD的體積．

（Ⅰ）當N為PB中點時，MN∥平面PDA．

證明如下：取PB的中點N，連接MN，

∵M，N分別為PC，PB中點，

∴MN∥BC，

又BC∥AD，

∴MN∥AD，

又DA平面PDA，MN平面PDA，

∴MN∥平面PDA；

（Ⅱ）由PD⊥平面ABCD，DB平面ABCD，知PD⊥BD，

又BD⊥CD，CD∩PD=D，

∴BD⊥平面PCD，

又MD平面PDC，

∴BD⊥MD，

∴△DBM為直角三角形．

當MD⊥PC時△BDM的面積最小．

在底面直角梯形ABCD中，

由∠ABC=∠BAD=90°，AD=AB=BC=1，得CD=，

∴BD=．

在Rt△PDC中，由PD=，CD=，可得PC=，MD=．

則CM=，

∴S△MCD=．

∴==．