Question

a為何值時，方程sin²x+2sinxcosx－2cos²x=a有實數解.

Answer 1

a∈［，］

分析:所給方程的特征較明顯，即是關于sinx與cosx的齊次方程，通過變形就可化為以tanx為變元的一元二次方程，從而據判別式進行求解.
解法一:原方程可化為
sin²x+2sinxcosx－2cos²x=a（sin²x+cos²x），
即（1－a）sin²x+2sinxcosx－（2+a）cos²x=0.
（1）當a≠1時，∵cosx≠0，∴方程兩邊同除以cos²x，得
（1－a）tan²x+2tanx－（2+a）=0.
∵tanx∈R，∴Δ≥0，即4+4（1－a）（2+a）≥0，
即a²+a－3≤0.又a≠1，
∴a∈［，1）∪（1，］.
（2）當a=1時，原方程化為2sinxcosx－3cos²x=0，此方程有實根.
綜合（1）（2）可得當a∈［，］時，原方程有實數根.
解法二:（用函數觀點）
當實數a取函數y=sin²x+2sinxcosx－2cos²x值域中的數值時，原方程有實根.因此，求a的范圍，實質上就是求上述函數的值域.
∵y=sin²x+2sinxcosx－2cos²x
=1+sin2x－3cos²x
=1+sin2x－ （1+cos2x）
=sin2x－cos2x－=sin（2x－）－，
其中∴y∈［， ］，
即a∈［，］時，原方程有實數根.
評注: 解法一是常規解法，解法二利用了變換的觀點，通過函數思想來解方程.函數與方程是數學中兩個重要的概念，在解決數學問題時，如能靈活運用，將使解答具有創造性.