Question

【題目】已知函數，.

（1）證明：不等式在恒成立；

（2）證明：在存在兩個極值點，

附：，，.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；

【解析】

（1），首先利用導數證明當時，總有，然后可得

（2）分和兩種情況討論，每種情況都要用導數求出的單調性.

（1），

設，易得在上為增函數，

又，，

∴存在唯一，使得，

∴在時，，為減函數，，

在時，，為增函數，，

因此時，總有，為減函數.

∴，從而原不等式得證.

（2），則，

在時，令，

則在上遞增.

又，.

∴存在唯一，使.

在時，，為減函數，即為減函數，

在時，，為增函數，即為增函數，

而，.

又，存在唯一的使得，

∴在時，，為減函數，

在時，，為增函數，故為一個極小值點.

另一方面，在時，由，

而，∴，

由（1）可知，∴在上恒成立，

又在上恒成立，∴是的極大值點，從而得證.