Question

【題目】已知橢圓的離心率為，左、右焦點分別為，，焦距為6.

（1）求橢圓的方程.

（2）過橢圓左頂點的兩條斜率之積為的直線分別與橢圓交于點.試問直線是否過某定點？若過，求出該點的坐標；若不過，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】

（1）根據題意得到解得，再由a,b,c的關系得到結果；（2）設出直線AM，聯立直線和橢圓，表示出點M的坐標，設直線的斜率為，則，即，把點坐標中的替換為，得到點N的坐標，利用兩點坐標表示出直線MN即可得到直線過定點.

（1）由題意知解得.

又，

，

橢圓方程為.

（2）設左頂點，根據已知得直線的斜率存在且不為零，

設，代入橢圓方程，得，

設，則，即，，

即.

設直線的斜率為，則，即，把點坐標中的替換為，得.

當的橫坐標不相等，即時，，直線的方程為，即，該直線恒過定點.

當時，、的橫坐標為零，直線也過定點.

綜上可知，直線過定點.