Question

【題目】已知橢圓:的左右焦點分別為，，左頂點為，點在橢圓上，且的面積為.

（1）求橢圓的方程；

（2）過原點且與軸不重合的直線交橢圓于，兩點，直線分別與軸交于點，，.求證：以為直徑的圓恒過交點，，并求出面積的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：（Ⅰ）根據點在橢圓上，且△的面積為，結合性質 ，列出關于 、 、的方程組，求出 、 、，即可得橢圓的方程；（Ⅱ）直線的方程為，設點（不妨設），則點，由，消去得，所以，，可證明，，同理，則以為直徑的圓恒過焦點，，可得，進而可得結果.

試題解析：（Ⅰ），，

又點在橢圓上，，，

解得，或（舍去），又，，

所以橢圓的方程為；

（Ⅱ），，，

方法一：當直線的斜率不存在時，，為短軸的兩個端點，則，， ，，則以為直徑的圓恒過焦點，，

當的斜率存在且不為零，設直線的方程為，

設點（不妨設），則點，

由，消去得，所以，，

所以直線的方程為，

因為直線與軸交于點，令得，

即點，同理可得點，

，，

，同理，

則以為直徑的圓恒過焦點，，

當的斜率存在且不為零時，

，

△面積為，

又當直線的斜率不存在時，，△面積為，

△面積的取值范圍是．

方法二：當，不為短軸的兩個端點時，設，

則，由點在橢圓上， ，

所以直線的方程為，令得，

即點，同理可得點，

以為直徑的圓可化為，

代入，化簡得，

令解得

以為直徑的圓恒過焦點，，

，又，,

△面積為，

當，為短軸的兩個端點時，，△面積為，

△面積的取值范圍是．