Question

【題目】設二次函數f（x）=ax2+bx+c的圖象過點（0，1）和（1，4），且對于任意的實數x，不等式f（x）≥4x恒成立．
（1）求函數f（x）的表達式；
（2）設g（x）=kx+1，若F（x）=g（x）﹣f（x），求F（x）在[1，2]上的最小值；
（3）設g（x）=kx+1，若G（x）=在區間[1，2]上是增函數，求實數k的取值范圍．

Answer 1

【答案】
解：（1）由題意知
（2）F（x）=g（x）﹣f（x）=﹣x2+（k﹣2）x，x∈[1，2]，對稱軸x=
當≤3，即k≤5時，F（x）max=F（2）=2k﹣8
當，即k＞5時，F（x）max=F（1）=k﹣3
綜上所述，
（3）G（x）==，
由G（x）在區間[1，2]上是增函數得F（x）=﹣x2+（k﹣2）x在[1，2]上為增函數且恒非負
故
【解析】（1）利用題意，推出混合組，求出a、b、c，即可求函數f（x）的表達式；
（2）化簡函數F（x）=g（x）﹣f（x）的表達式，通過對稱軸所在位置，討論即可求F（x）在[1，2]上的最小值
（3）通過化簡表達式，在區間[1，2]上是增函數，轉化F（x）=﹣x2+（k﹣2）x在[1，2]上為增函數且恒非負，得到不等式組，即可求實數k的取值范圍．
【考點精析】本題主要考查了函數單調性的性質的相關知識點，需要掌握函數的單調區間只能是其定義域的子區間 ,不能把單調性相同的區間和在一起寫成其并集才能正確解答此題．